Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
- Movimentos das peças do xadrez.;
- Modelagem matemática de alguns movimentos das peças do xadrez;
- Aplicações de conceitos de análise combinatória em relação a movimentos de peças do xadrez.
Duração das atividades
2 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
- Permutações Simples
- Combinações Simples
Estratégias e recursos da aula
Xadrez
Professor, que tal aproveitar o tema "Jogo de Xadrez" para aprofundar os estudos de análise combinatória? Nesta aula vamos propor três atividades com este objetivo.
Fonte da Imagem: http://xadrezvencedor.blogspot.com/2010/04/843-convergencia-do-xadrez-fluminense.html
http://xadrezonline.uol.com.br/tutorial/nocoes.html
http://www.mdgx.com/chess3.htm
Atividade 1
As peças do Xadrez
Trinta e duas peças compõe o xadrez. São elas:
Definimos as peças de cores claras como "as brancas" e as peças de cores escuras como "as pretas".
Ao iniciar a partida, colocamos as peças nas seguintes posições:
A dama deve ser colocada na casa de sua cor. Dama
branca em casa branca. Dama preta em casa preta. Obs: Alguns jogadores
chamam a dama de rainha.
1º) Reúna os alunos em grupos.
2º) Distribua uma folha em branco para cada grupo.
3º) Os grupos deverão responder às seguintes questões.
1) O rei é a peça mais importante do jogo e a única que deve estar presente em qualquer situação de jogo. Sabendo disso, informe de quantos modos diferentes, indepententes das posições ocupadas, um jogador de xadrez pode ter:
a) Uma única peça
b) Duas peças
c) Três peças
d) Quatro peças
2) Durante uma partida de xadrez os reis e rainhas pretos e brancos não mudaram de posição. Os adversários têm, além destas, somente uma torre a mais cada. De quantos modos diferentes podem estar posicinadas as peças destes jogadores?
4º) Faça uma permutação completa das folhas de respostas dos grupos de modo que nenhum fique com a sua própria folha.
5º) Peça para cada grupo corrigir as soluções dadas pelos colegas.
6º) As folhas corrigidas devem ser devolvidas aos grupos originais.
7º) Agora, para a socialização das respostas com a turma toda, convide os grupos que quiserem para apresentar suas soluções no quadro. Aproveite este momento para promover um debate com a turma e realizar intervenções sempre que necessário, por exemplo, para retificar alguma solução.
1) O rei sempre estará presente em todas as configurações.
a) Uma única peça: Só há um modo ( o rei).
b) Duas peças: Além do rei é necessário escolher uma peça dentre dama, bispo, torre, cavalo e peão. Logo, há cinco modos diferentes, um para cada tipo diferente de peça.
Deixe claro que, apesar de haver 8 peões, eles são considerados iguais para fins desta contagem.
c) Três peças: Além do rei é necessário escolher duas peças, mas nada impede que sejam do mesmo tipo. Por isso é necessário particionar o problema.
1º Caso: Três peças diferentes
O rei: 1 possibilidade
A 2ª peça: 5 possibilidades
A 3ª peça: 4 possibilidades ( excluindo-se a anterior).
Pelo princípio fundamental da contagem há 1x5x4= 20 modos diferentes.
2º Caso: O rei e duas peças iguais
O rei: 1 possibilidade
O tipo das outras duas peças: 4 possibilidades.
Note que não podemos considerar a dama, porque só há uma e este caso já foi contado no caso anterior.
Pelo princípio fundamental da contagem há 1x4= 4 modos diferentes.
Como os dois casos listados acima correspondem a uma partição do problema original, segue que há 4+20 modos diferentes para um jogador ter 3 peças.
d) Quatro peças: Além do rei é necessário escolher três peças, mas nada impede que sejam todas do mesmo tipo ou duas de um tipo e as outras de outro tipo. Neste caso também é necessário particionar o problema.
1º Caso: Quatro peças diferentes
O rei: 1 possibilidade
A 2ª peça: 5 possibilidades
A 3ª peça: 4 possibilidades ( excluindo-se a anterior).
A 4ª peça: 3possibilidades ( excluindo-se as anteriores).
Pelo princípio fundamental da contagem há 1x5x4x3= 60 modos diferentes.
2º Caso: O rei, a dama e duas peças iguais
O rei: 1 possibilidade
A dama: 1 possibilidade
O tipo das outras duas peças: 4 possibilidades.
Pelo princípio fundamental da contagem há 1x1x4= 4 modos diferentes.
3º Caso: O rei, uma peça diferente da dama e duas peças iguais
O rei: 1 possibilidade
Peça diferente da dama: 4 possibilidades
O tipo das outras duas peças: 4 possibilidades.
Pelo princípio fundamental da contagem há 1x4x4= 16 modos diferentes.
4º Caso: O rei e três peças de um mesmo tipo.
O rei: 1 possibilidade
Tipo da peça: 1 possibilidade (só o peão possui mais de duas peças iguais)
Pelo princípio fundamental da contagem há 1x1= 1 único modo.
Como os quatro casos listados acima correspondem a uma partição do problema original, segue que há 60+4+16+1=81 modos diferentes para um jogador ter 3 peças.
2) Durante uma partida de xadrez os reis e rainhas pretos e brancos não mudaram de posição. Os adversários têm, além destas, somente uma torre a mais cada. De quantos modos diferentes podem estar posicinadas as peças destes jogadores?
Ao todo são 8x8=64 posições no tabuleiro. Destas, 4 estão ocupadas pelos reis e damas pretos e brancos. Restam 60 posições que podem ser ocupadas pela torre preta e pela torre branca.
Escolha da posição da torre branca: 60 possibilidades.
Escolha da posição da torre preta: 59 possibilidades (devemos reduzir a posição já ocupada pela torre branca).
Pelo princípio fundamental da contagem há 60x59= 3540 modos diferentes para as posições das peças destes jogadores.
Atividade 2
Passeio da Torre no Tabuleiro de Xadrez
1º) Mantenha os alunos nos grupos formados na atividade anterior. Peça para que eles escolham nomes para esses grupos.
2º) Proponha aos grupos um jogo de perguntas e respostas. Cada resposta certa valerá um ponto (fictício, ponto do jogo). Faça a anotação da pontuação dos grupos no quadro-negro.
3º) Apresente as informações a seguir aos alunos.
As posições em um tabuleiro de xadrez são identificadas a partir do cruzamento de duas informações: a coluna e a linha.
Imagem editada a partir de http://www.sparkchess.com/
As colunas são nomeadas da esquerda para a direita de A a H. As linhas são numeradas de baixo para cima de 1 a 8.Na figura acima a torre branca está na posição A1, o rei branco na H1 e o rei preto em H8.
Imagem editada a partir de http://www.sparkchess.com/
4º) Os grupos deverão responder às seguintes questões.1) No tabuleiro há 64 posições, destas 3 estão ocupadas com os dois reis e com a torre branca. Suponha que só a torre branca irá se mexer até alcançar a posição H8, do rei preto. Lembre-se que a torre pode se movimentar na linha e na coluna, quantas casas forem possíveis, desde que não pule nenhuma peça.
a) Se a torre estiver em A1, quantas são as posições que ela poderá ocupar após um movimento?
Resposta: 13 posições ( 7 na coluna A e 6 na linha 1)
Imagem editada a partir de http://www.sparkchess.com/
b) Se a torre estiver em A2, quantas são as posições que ela poderá ocupar após um movimento?
Imagem editada a partir de http://www.sparkchess.com/
Resposta: 14 posições ( 7 na coluna A e 7 na linha 2)
Resposta: 14 posições ( 7 na coluna E e 7 na linha 2)
Imagem editada a partir de http://www.sparkchess.com/
Para os próximos exercícios considere a seguinte restrição para o movimento da torre: ela só pode ser movimentada para cima ou para a direita.
2) Responda aos itens a, b e c, do exercício anterior, com esta restrição.
a) Se a torre estiver em A1, quantas são as posições que ela poderá ocupar após um movimento?
Resposta: 13 posições ( 7 na coluna A e 6 na linha 1).
b) Se a torre estiver em A2, quantas são as posições que ela poderá ocupar após um movimento?
Resposta: 13 posições ( 6 na coluna A e 7 na linha 2).
c) Se a torre estiver em E2, quantas são as posições que ela poderá ocupar após um movimento?
Resposta: 9 posições ( 6 na coluna E e 3 na linha 2).
3) Qual o número mínimo de movimento para a torre partir da posição A1 e chegar a posição H8?
Resposta: 2 movimentos ( avançar até A8 e de lá até H8).
4) Qual o número máximo de movimentos para a torre partir da posição A1 e chegar a posição H8?
Resposta: 2 movimentos. Ao partir de A1 para chegar a H8, a torre precisa subir 7 casas e aumentará o número de movimentos se o fizer uma de cada vez. Analogamente, é necessário deslocar 7 casas para a direita.
Por isso, o número máximo de movimentos, nestas condições, é 14.
5) Quantas são as trajetórias distintas para a Torre Branca, que partem da posição A1 e chegam, em 14 movimentos, a posição H8, ocupada pelo rei preto?
Obs: Lembre-se que a posição A8 está ocupada pelo Rei Branco.
Imagem editada a partir de http://www.sparkchess.com/
Resposta: Há apenas uma
trajetória que fica impossibilitada de ocorrer devido a presença do rei
branco na casa H1, é a trajetória A1H1H8. Vamos descontar essa
trajetória ao final. Por isso, vamos inicialmente desconsiderar a
presença deste rei nesta casa.A torre precisa subir 7 casas e se deslocar 7 casas para a direita. Cada movimento de subida será representado pela letra S e cada deslocamento para a direita pela letra D.
Assim, uma trajetória é equivalente a uma palavra com 14 letras, sendo 7 S e 7 D.
Por exemplo, SSSSSSSDDDDDDD ou SDSDSDSDSDSDSD. Logo este problema é equivalente a calcular o número de anagramas da palavra "SSSSSSSDDDDDDD". Esse número é igual a 14! / (7!7!)=3432.
Descontando a trajetória que não pode ocorrer por causa do rei branco, obtemos o total de 3431 trajetórias distintas.
Atividade 3
Criando problemas de contagem a partir do jogo de xadrez
1º) Mantenha os mesmos grupos das atividades anteriores.
2º) Distribua uma folha em branco para cada grupo.
3º) Nesta folha, cada grupo deverá criar um problema de contagem a partir do jogo de xadrez . Além disso deverá apresentar a resposta ao problema proposto.
4º) Ao final da aula o professor deverá recolher esta folha para realizar a correção. Caso alguma questão ou resolução apresente erro, o professor deverá mostrar o problema ao grupo correspondente.
5º) Aproveite as questões criadas pelos alunos para compor uma avaliação individual para todos os alunos da turma. Os alunos ficam muito felizes quando descobrem que suas questões foram utilizadas para avaliar os outros colegas.
Recursos Complementares
Avaliação
Sugerimos a seguinte questão para avaliação do conteúdo apresentado:
Considere a seguinte restrição para o movimento da torre: ela só pode ser movimentada para cima ou para a direita. Quantas são as trajetórias distintas para a Torre Branca, que partem da posição A1, passar pela posição G7 e chegam, em 14 movimentos, a posição H8, ocupada pelo rei preto?
Obs: Lembre-se que a posição A8 está ocupada pelo Rei Branco.
Considere a seguinte restrição para o movimento da torre: ela só pode ser movimentada para cima ou para a direita. Quantas são as trajetórias distintas para a Torre Branca, que partem da posição A1, passar pela posição G7 e chegam, em 14 movimentos, a posição H8, ocupada pelo rei preto?
Obs: Lembre-se que a posição A8 está ocupada pelo Rei Branco.
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